Tablas de verdad y lógica proposicional

En el desarrollo de cualquier teoría matemática se hacen afirmaciones en forma de frases y que tienen un sentido pleno. Tales afirmaciones, verbales o escritas, las denominaremos enunciados o proposiciones.



1 Proposición 
Llamaremos de esta forma a cualquier afirmación que sea verdadera o falsa, pero no ambas cosas a la vez.
Ejemplo 1

• Las siguientes afirmaciones son proposiciones.

(a) Gabriel García Márquez escribió Cien años de soledad.
(b) 6 es un número primo.
 (c) 3+2=6
(d) 1 es un n´umero entero, pero 2 no lo es. 

Ejemplo 2

• Las siguientes no son proposiciones. 

(a) x + y > 5
(b) ¿Te vas?
(c) Compra cinco azules y cuatro rojas.
(d) x = 2 

Solución En efecto, (a) es una afirmación pero no es una proposición ya que sería verdadera o falsa dependiendo de los valores de x e y e igual ocurre con la afirmación (d). Los ejemplos (b) y (c) no son afirmaciones, por lo tanto no son proposiciones.

proposiciones simples
Una proposición es simple si expresa una sola idea sobre algo. Las proposiciones simples son aquellas donde no es posible encontrar otras proposiciones.
ejemplo.
a. María no quiere a Juan.
b. 7 es un número primo

 proposiciones compuestas
están conformadas de varias proposiciones simples unidas a través de conectores lógicos. Los conectores lógicos más conocidos son: si … entonces … , si y sólo si…, y, o . Un conectivo lógico es por lo tanto, un elemento que permite la unión de proposiciones simples. Una proposición es compuesta si relaciona dos o más proposiciones simples por medio de un conectivo lógico.
ejemplos:
a. el árbol es de color café o el árboles es de color verde.
b. Mauricio y Martha son mayores de edad.

conectivos lógicos

• Disyunción:Se representan dos enunciados separadas por la expresión o basta con que una sea verdadera para que se cumpla la proposición (pvq). Su símbolo es: V

ejemplos:
Está lloviendo o es de noche.
Está feliz o está enojado.
Está caminando o está lloviendo.
Hay derivadas o hay integrales.

• conjunción: Es cuando dos proposiciones simples se combinan mediante la expresión y , la proposición compuesta resultante se le llama conjunción (pΛq). Su símbolo es: Λ

Ejemplos:
La puerta está vieja y oxidada.
Hace frío y está nevando.
Está lloviendo y es de noche.
Tiene gasolina y tiene corriente.

• Condicional: Es aquella proposición compleja cuya conectiva dominante es el condicional,  y que se lee “si p, entonces q” o bien “p es condición suficiente de q”, donde A es el antecedente y B el consecuente. Su símbolo es: →

Ejemplos:
Si está dormido entonces está soñando.
Si quiere comer entonces tiene hambre.
Si Londres está en Inglaterra entonces París está en Francia.
Si hay gasolina en mi tanque entonces mi automóvil funciona.

• Bicondicional: También llamado equivalencia o implicación doble, es una proposición de la forma “P si y sólo si Q”,en la cual tanto P como Q son ambas ciertas o ambas falsas. También se dice que Q es una condición necesaria y suficiente para P, (p↔q). Su símbolo es: ↔

Ejemplos:
Esta completo si y solo si tienes todas las actividades.
Saldrás si y solo si acabaste tu tarea.
Está lloviendo si y solo si está nublado.
3+2=5 si y solo si 4+4=8

se muestra el vídeo los conectivos lógicos.

Ley de Morgan

Esta ley permite transformar una disyunción en una conjunción, y viceversa, es decir, una conjunción en una disyunción. Cuando se pasa de una a otra, se cambian los valores de afirmación y negación de los términos de la disyunción/conjunción así como de la propia operación en conjunto, como podemos observar aquí:

conjunción:
simbología

Disyunción
Simbología

El condicional: ⟶

Se dice que una proposición compuesta es condicional, si esta formada por dos proposiciones simples enlazadas por la expresión si...entonces.
~ (p ⤑ q)⇶ pA ~q

El bicondicional ⟷
Se denomina bicondicional a la proposición formada por dos proposiciones simples conectadas por la expresión si y solo si.

~ (p ⟷ q)⇶ (pA~q) v (qA~p)

 

En este video se podra ver todo el resumen de logica preposicional y tablas de verda:

Conclusión
proposiciones es una afirmación que sea verdadera o falsa, pero no ambas cosas a la vez; existen dos tipos de proposiciones la simple y compuesta; la compuesta esta conformado por varios proposiciones simples, unidas con varios conectivos lógicos que son: conjunción, disyunción, implicación, doble implicación y la negación. Exites equivalencia de los conectivos que es la ley de Morgan permite transformar una disyunción en una conjunción, y viceversa, cuando se pasa de una a otra, se cambian los valores de afirmación y negación de los términos de la disyunción/conjunción.

Referencias

• Cardona Torres, Sergio Augusto. Lógica matemática para ingeniería de sistemas y computación. Madrid, ES: Ediciones Elizcom, 2010. ProQuest ebrary. Web. 30 June 2017.
• Colegio24hs. Tablas de Verdad. Buenos Aires, AR: Colegio24hs, 2004. ProQuest ebrary. Web. 30 June 2017.
• Chávez Calderón, Pedro. Compendio de lógica. México, D.F., MX: Grupo Editorial Patria, 2014. ProQuest ebrary. Web. 30 June 2017.